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LNCC/MCTI - Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional
Sistemas Lineares (GA-032) - Aula 5 - Sistema Linear a Tempo Contínuo via Equação Diferencial Ordinária
Objetivos/Programa
1) Apresentar modelagem de um sistema linear a tempo contínuo (SLVT e SLIT), via Equação Diferencial Ordinária (EDO)
2) Apresentar a construção de um diagrama de blocos que representa a EDO do SLVT na forma direta II e sua versão canônica (mínima).
3) Apresentar um protocolo para obtenção da solução da EDO Homogênea de um SLIT. Apresentar a relação entre os modos naturais do SLIT e as raízes do polinômio característico da EDO Homogênea.
4) Apresentar um protocolo para obtenção da solução da EDO não-homogênea de um SLIT. Casos em que a entrada x(k) é polinomial (em t) ou uma combinação linear de exponenciais do tipo exp(\lambda t), t maior ou igual a zero.
5) Obter a solução geral y(t) de uma EDO de primeira ordem que representa um SLVT, a tempo contínuo, para uma entrada genérica x(t) e uma condição inicial não-nula em y(0).
6) Obter a resposta impulsiva do SLVT a partir da expressão geral de y(t)
7) Particularizar os itens (5) e (6) acima para o caso de SLIT.
8) Estudar um SLIT de segunda ordem construído como a ligação em série de dois SLITs identicos de primeira-ordem e relacionar a raiz de multiplicidade algébrica 2 do operador de segunda-ordem que define a EDO Homogênea, os modos naturais da solução da ED Homogênea e os modos da Resposta Impulsiva (RI). Idem para um sistema de terceira ordem, como a ligação em série de três SLITs identicos de primeira-ordem, com resposta h_1(t)=exp(\lambda t)u(t).
9) Apresentar o chamado Conjunto Fundamental de Soluções (CFS) e o teorema que estabelece que qualquer solução y(t) da EDO pode ser escrita como uma combinação linear do CFS.
00:08 Representação de um sistema linear a tempo contínuo variante no tempo (SLVT), via Equação Diferencial Ordinária (EDO)
05:28 Expressão da EDO em termos do operador diferenciação s.
07:53 Expressão da EDO em termos do operador integração s^{-1}.
11:41 Representação via diagrama de blocos da forma direta II da EDO em termos do operador integração s^{-1}.
17:17 Forma direta II Canônica da EDO em termos do operador integração s^{-1}.
19:05 Definição da EDO Homogênea - Existência e Unicidade (sem prova)
21:15 Teorema da superposição e sua demonstração
24:03 Particularização das EDOs não-homogênea e Homogênea (EDOH), para o caso de SLIT (sistema linear invariante no tempo)
25:32 Polinômio Característico da EDOH de SLIT.
26:42 Modos Naturais da EDOH
30:41 Protocolo para obtenção da solução y_h(t) de uma EDOH de ordem N, para um conjunto de N condições iniciais dadas.
38:39 Protocolo para obtenção da solução y(t)=y_h(t)+y_p(t) de uma EDO não-Homogênea de ordem N, para um conjunto de N condições iniciais dadas e uma entrada x(t) polinomial (em t) ou combinação linear de exponenciais do tipo exp(\lambda t).
43:15 Obtenção da solução y_p(t) associada a uma entrada x(t) polinomial (em t) ou combinação linear de exponenciais do tipo exp(\lambda t).
59:23 Obtenção a solução geral y(t) de uma EDO de Primeira Ordem que representa um SLVT, a tempo contínuo, para uma entrada genérica x(t) e uma condição inicial não-nula em y(0), via o Método do Fator Integrante.
01:06:47 Particularização da solução y(t) acima para o caso de um SLIT.
01:09:55 Obtenção da resposta impulsiva de uma EDO de Primeira Ordem que representa um SLVT, a tempo contínuo, a partir da expressão de y(t).
01:13:16 Particularização da RI acima para o caso de um SLIT de primeira ordem.
01:16:30 Resposta impulsiva da ligação em série de 2 SLITs idênticos de primeira ordem com resposta exp(\lambda t)u(t). Idem para a RI de 3 SLITs idênticos de primeira ordem com resposta exp(\lambda t)u(t). Conexão com a regra de construção da solução da EDO homogênea y_h(t).
01:24:52 Conjunto Fundamental de Soluções (CFS) e o teorema que estabelece que qualquer solução y_h(t) da EDOH pode ser escrita como uma combinação linear do CFS.
01:32:22 Encerramento.
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Pré-requisitos
Ter conhecimentos de:
Álgebra linear, números complexos, funções e suas representações, cálculo diferencial e integral.
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lps.lncc.br
Material do curso de PDS:
http://www.lncc.br/~pesquef/GA038_1p21/
senha material: formadejordan
Material (módulos computacionais) de Sistemas Lineares
http://lps.lncc.br/index.php/demonstracoes/ga032-3t17
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