LNCC/MCTI - Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional
Sistemas Lineares (GA-032) - Representação em Espaço de Estados de Sistemas Lineares a Tempo Contínuo
Prof. Paulo Esquef
www.lncc.br/~pesquef/GA032_4P21/
Objetivos/Programa
1) Apresentar o Representação em Espaço de Estados (REE) para Sistemas Lineares, com Múltiplas Entradas e Múltiplas Saídas (MIMO) a tempo contínuo.
2) Apresentar formas de obter a REE de um sistema linear, através do seu diagrama de blocos (vale para sistemas MIMO) e através da Equação de Diferenças que representa o sistema linear (caso SISO).
3) Apresentar a REE para Sistema Linear Variante no Tempo (SLVT) Homogêneo (entrada u(t) nula) e sua solução explícita para a Equação de Estado Homogênea (EEH), para um estado inicial não-nulo no instante t = t_0.
4) Definir a Matriz de Transição de Estados (MTE) para a EEH.
5) Apresentar expressões para as soluções explícitas de x(t) e y(t) da REE Homogênea em termos da MTE e do estado inicial não-nulo.
6) Definir o Conjunto Fundamental de Soluções (CFS) da EEH.
7) Definir a Matriz Fundamental de Soluções (MFS) da EEH.
8) Relacionar a MTE com a MFS.
9) Apresentar o Teorema da Sobreposição para a EE não-homogênea.
10) Obter a expressão explícita para a solução da Equação de Estado (EE) Não-Homogênea, em função da Matriz de Transição de Estados (MTE), para SLVT MIMO Causal.
11) Obter a expressão explícita para a Resposta Impulsiva (RI) de um SLVT SISO Causal, através da solução explícita da Equação de Estado (EE) Não-Homogênea e sua substituição na equação de saída.
12) Obter a Função de Transferência H(s) de SLIT SISO causal em função das matrizes A, B, C e D da REE.
13) Relacionar, no caso de SLIT SISO causal: o polinômio característico da equação de diferenças homogênea p(s), o denominador de H(s)=B(s)/A(s) irredutível e o determinante da matriz M(s)= (sI - A).
14) Apresentar o conceito de mudança de base no contexto de mudança de forma de implementação de um mesmo sistema.
15) Apresentar o conceito de Estabilidade Assintótica e o critério que a garante para SLIT MIMO.
00:08 Motivações para a REE.
03:59 REE no caso geral de um sistema não-linear variante no tempo MIMO.
02:31 Alteração notação: x(t) é vetor de estados; u(t) é o vetor de entradas; n é a ordem da parte recursiva do sistema.
05:55 REE no caso de SLVT MIMO.
08:54 Diagrama de blocos da REE no caso de SLVT MIMO.
11:47 REE para SLITs MIMO e para SLITs SISO..
13:44 Apresentação do teorema: todo SLVT SISO modelado por uma EDO de ordem R admite uma REE (não-unica) de ordem R.
14:35 Obtenção de uma REE a partir de um diagrama de blocos de um SLVT MIMO.
20:59 Obtenção de uma REE da EDO (aumentada de ordem R=max(n,q)) que representa o SLVT SISO.
36:32 Estratégia de resolução da REE: encontrar solução explícita x(t) da equação de estado e substitui-la na equação de saída.
39:45: Solução da REE para SLVT Homogêneo MIMO. Existência e Unicidade valem.
41:37 Apresentação da definição conceitual da Matriz de Transição de Estados (MTE) e sua da expressão como a série de Peano-Baker.
43:19 Seleção de propriedades da MTE como Série de Peano-Baker.
46:37 No caso de SLVT, nem sempre vale usar as estruturas da solução de uma EDO escalar para o caso matricial.
52:38 Solução da REE para SLIT Homogêneo MIMO.
58:25 Cálculo de exp(At). Ver vídeo-aula separada abaixo
https://youtu.be/l4OhfhKlvI0
59:37 Seleção de propriedades da matriz exp(At).
Para REE de SLVT MIMO Homogêneo:
01:04:28 Conjunto Fundamental de Soluções (CFS).
01:08:10 Matriz Fundamental de Soluções (MFS) ou X(t): propriedades e sua relação com a Matriz de Transição de Estados (MTE).
Para REE de SLVT MIMO Não-Homogêneo:
01:13:11 Teorema da sobreposição.
01:16:59 Soluções explícitas para x(t) e y(t).
Para REE de SLIT MIMO Não-Homogêneo:
01:20:39 Soluções explícitas para x(t) e y(t).
Para REE de SLVT SISO Não-homogêneo:
01:22:06 Obtenção da resposta impulsiva h_l(t)
Para REE de SLIT SISO Não-homogêneo:
01:25:08 Obtenção da resposta impulsiva h(t)
01:26:34 Obtenção da Função de Transferência H(s).
01:30:00 Relação entre os autovalores da matriz A, raízes do polinômio característico da EDO homogênea e raízes do denominador de H(s) irredutível.
01:35:25 Mudança de base no contexto de mudança de implementação de um mesmo sistema.
01:48:03 Estabilidade Assintótica. Ver também playlist de vídeo-aulas específicas sobre o tema:
https://youtube.com/playlist?list=PLD-eOOIdZMYTWfbd6jRvBepPchiy0Em8w
01:52:38 Encerramento
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Pré-requisitos
Álgebra linear, números complexos, funções e suas representações, cálculo diferencial e integral,, sequências e séries . Equações diferenciais ordinárias lineares escalares e matriciais.
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http://www.lncc.br/~pesquef/GA038_1p21/
senha: formadejordan
Material (módulos computaci
