Representação em Espaço de Estados de Sistemas Lineares a Tempo Discreto - Parte 3/3
LNCC/MCTI - Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional
Sistemas Lineares (GA-032) - Representação em Espaço de Estados de Sistemas Lineares a Tempo Discreto - Parte 3/3
www.lncc.br/~pesquef/GA032_4P21/
Link para a parte 1:
https://www.bitchute.com/video/Hub01PYalPNq/
Link para a parte 2:
https://www.bitchute.com/video/Z0zC9ga7CTQx/
Objetivos/Programa
1) Obter a expressão explícita para a solução da Equação de Estado (EE) Não-Homogênea, em função da Matriz de Transição de Estados (MTE), para SLVT MIMO Causal.
2) Obter a expressão explícita para a Resposta Impulsiva (RI) de um SLVT SISO Causal, através da solução explícita da Equação de Estado (EE) Não-Homogênea e sua substituição na equação de saída.
3) Obter a Função de Transferência H(z) de SLIT SISO causal em função das matrizes A, B, C e D da REE.
4) Apresentar o conceito de mudança de base no contexto de mudança de forma de implementação de um mesmo sistema e no caso de sistemas diagonalizáveis (paralelizáveis em sub-sistemas de primeira ordem).
5) Relacionar, no caso de SLIT SISO causal: o polinômio característico da equação de diferenças homogênea p(z), o denominador A(z) de H(z)=B(z)/A(z) (sem cancelamento polo-zero em H(z), i.e., A(z) e p(z) de mesma ordem) e o determinante da matriz M(z)= (I - z^{-1}A). Apresentar o resultado que estabelece que os autovalores de A são as raízes de p(z) e também os polos de H(z).
00:08 Obtenção da expressão explícita para a solução da Equação de Estado (EE) Não-Homogênea, em função da Matriz de Transição de Estados (MTE), para SLVT MIMO Causal.
10:56 Particularização do resultado anterior para SLIT MIMO
14:19 Obtenção da expressão explícita para a Resposta Impulsiva (RI) de um SLVT SISO Causal, através da solução explícita da Equação de Estado (EE) Não-Homogênea e sua substituição na equação de saída.
19:23 Particularização do resultado anterior para a RI de um SLIT SISO Causal.
20:56 Obtenção da Função de Transferência H(z) de SLIT SISO causal em função das matrizes A, B, C e D da REE.
26:43 Mudança de Base do vetor de estados. Contexto: um mesmo sistema com duas implementações (realizações) distintas, i.e., duas REEs: como se relacionam os vetores de estados e as matrizes de cada REE.
28:21 Mudança de base: exemplo ilustrativo com SLIT SISO causal de 2a. ordem paralelizável
35:42 Mudança de base: formalização que parte de uma mudança de base do vetor de estados x da REE1 para o vetor de estados x^ = P^{-1}x da RRE2 e chega no resultado que as matrizes A e A^ são matrizes similares e estabelece as relações entre as matrizes das duas REEs.
41:36 Mudança de base: formalização que parte da argumentação que A e A^ tem que ser similares, posto que definem os polos e a RI de um mesmo sistema, e chega na relação entre as outras matrizes das REEs, além do resultado que matrizes de transição de estados das duas REEs também são similares.
47:55 Mudança de base (diagonalização): exemplo de SLIT MIMO causal diagonalizável: matriz A é similar a uma matriz A^ diagonal
55:25 Mudança de base (diagonalização): quando matriz A não é diagonalizável, a forma mais próxima a forma paralela é a chamada forma de normal Jordan.
https://youtu.be/IrOuBye5LKY
56:17 Para SLIT SISO causal: relacionamento entre o polinômio característico da equação de diferenças homogênea p(z), o denominador A(z) de H(z)=B(z)/A(z) (sem cancelamento polo-zero em H(z), i.e., A(z) e p(z) de mesma ordem) e o determinante da matriz M(z)= (I - z^{-1}A). Resultado: os autovalores de A são as raízes de p(z) e também os polos de H(z). No caso de SLIT MIMO, os autovalores de A são chamados de os polos do sistema.
01:03:30 Estabilidade BIBO de SLIT SISO causal à luz da REE: se todos os autovalores de A têm módulos estritamente menores que 1, o SLIT é BIBO-estável. Neste caso, o SLIT também é Assintoticamente Estável. Em outras palavras: Estabilidade no sentido Assintótico implica a Estabilidade no Sentido BIBO. A volta não vale.
Estabilidade Assintótica:
https://youtu.be/rDsqpJjuJCs
Na vídeo aula acima, o vetor de estado é denotado por s, no lugar de x. O índice do tempo discreto é denotado por n, no lugar de k.
01:07:04 Encerramento
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Pré-requisitos
Ter conhecimentos de:
Álgebra linear, números complexos, funções e suas representações, cálculo diferencial e integral, cálculo em variável complexa, sequências e séries, séries de potência, série de Laurent, Progressão geométrica.
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lps.lncc.br
Material do curso de PDS:
http://www.lncc.br/~pesquef/GA038_1p21/
senha material: formadejordan
Material (módulos computacionais) de Sistemas Lineares
http://lps.lncc.br/index.php/demonstracoes/ga032-3t17
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